Puig nació en Barcelona el 16 de enero de 1967 en el seno de una familia apasionada por el motor, de la que también surgió el piloto de F1 Pedro Martínez de la Rosa, primo de Alberto. Trabajador nato, de carácter muy fuerte y controvertido, está completando una trayectoria ligada a Honda durante más de 25 años, que ahora se culmina con el nombramiento como team manager del Repsol Honda Team.
Forma parte del elitista club de pilotos españoles que han ganado en 500cc, junto a Crivillé, Gibernau y Checa. Siempre destacó por una gran determinación y por entregarse en la pista sin concesiones.
Su debut mundialista se produjo en la categoría de 250cc en Assen en 1987, donde logró ser 20.º. Completó cinco carreras como ‘wildcard’ esa temporada y sumó sus primeros puntos en Le Mans, donde llegó a rodar 5.º y acabó 11.º bajo el agua. Al año siguiente, en su debut con Honda, pudo correr 7 carreras, consiguiendo puntuar en los Grandes Premios de España (14.º) y Portugal (8.º). Tras la sensación causada, en 1989 dio el salto a Yamaha y completó el calendario en su totalidad con un 7.º puesto como mejor resultado.
Durante la pretemporada previa a la 1990 y a mitad de la 1991, sufrió varias lesiones en 250cc que interrumpieron su progresión. En 1992 y 1993, sumó un total de tres podios que le permitieron dar el salto a 500cc de la mano de Honda. El 1994 fue su mejor año, siendo 5.º a final de temporada y consiguiendo un podio en Hungría. Logró su primera y única victoria en Jerez, un Gran Premio de 1995 que sin duda recordará.
En el mejor momento de su carrera como piloto, tres podios en siete carreras, sufrió la peor lesión de su carrera en Le Mans a 250km/h y se destrozó la pierna izquierda contra un muro. Arruinó todas sus opciones de la temporada, pero no se rindió y volvió a subirse a la moto un año más tarde. Precisamente en Francia, esta vez en el Circuito de Paul Ricard, consiguió subirse de nuevo al podio.
Dejó la lucha contra el cronómetro y se lanzó a promocionar a jóvenes talentos, participando en copas de formación de Dorna como la Movistar Junior Cup, la MotoGP Academy, guiando a pilotos de la talla de Casey Stoner, Toni Elías, Joan Olivé… y siendo el manager de Dani Pedrosa y uno de los más reconocidos del paddock.
En los últimos años ha sido uno de los mayores representantes de la Asia Talent Cup, copa de promoción del talento asiático de Dorna.
Además de ser asesor de Honda, uno de sus últimos proyectos ha sido la British Talent Cup, que pretende fomentar el talento británico en el camino Road To MotoGP.